Ολοκλήρωση του τετραγωνικού τύπου: Πώς να συμπληρώσετε το τετράγωνο με μια τετραγωνική εξίσωση

Εξετάστε την ακόλουθη τετραγωνική εξίσωση: x2 = 9 . Εάν σας ζητηθεί να το λύσει, θα λάβει φυσικά την τετραγωνική ρίζα του 9 και να καταλήξουμε με 3 και -3 . Τι γίνεται όμως αν δεν θα κάνουν απλές μέθοδοι τετραγωνικής ρίζας; Τι γίνεται αν η εξίσωση περιλαμβάνει το x που έχει αυξηθεί στην πρώτη ισχύ και δεν μπορεί εύκολα να ληφθεί υπόψη;

Ευτυχώς, υπάρχει μια μέθοδος για την ολοκλήρωση της πλατείας . Ως αποτέλεσμα, μια τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα. Ας εξερευνήσουμε αυτό το βήμα προς βήμα μαζί.

Ας πούμε ότι μας δίνεται η ακόλουθη εξίσωση:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Ολοκλήρωση του τετραγώνου

ΒΗΜΑ 1: Διαχωρίστε τους μεταβλητούς όρους από τον σταθερό όρο

Ας απλοποιήσουμε την εξίσωση μας. Αρχικά, διαχωρίστε τους όρους που περιλαμβάνουν μεταβλητές από τους σταθερούς όρους. Στη συνέχεια, αφαιρέστε το x από 13x (το αποτέλεσμα είναι 12x ) και αφαιρέστε το 7 από το 6 (το αποτέλεσμα είναι -1 ).

ΒΗΜΑ 2: Βεβαιωθείτε ότι ο συντελεστής X τετραγώνου είναι ίσος με 1

Η μέθοδος ολοκλήρωσης του τετραγώνου λειτουργεί πολύ πιο εύκολα όταν ο συντελεστής x2 ισούται με1 . Ο συντελεστής στην περίπτωσή μας ισούται με 4 . Διαίρεση4 σε κάθε μέλος έχει ως αποτέλεσμα x2 + 3x = - 1/4 .

ΒΗΜΑ 3: Ολοκληρώστε την πλατεία

Πρώτα πρέπει να βρούμε τον σταθερό όρο του πλήρους τετραγώνου μας. Ο συντελεστής x , που ισούται μεΤο 3 διαιρείται με το 2 και το τετράγωνο, δίνοντάς μας 9/4 .

Στη συνέχεια προσθέτουμε και αφαιρούμε το 9/4 όπως φαίνεται παραπάνω. Αυτό δεν επηρεάζει την εξίσωση μας ( 9/4 - 9/4 = 0 ), αλλά μας δίνει μια έκφραση για το πλήρες τετράγωνο x2 + 3x + 9/4 .

ΒΗΜΑ 4: Συντελεστής Η έκφραση X τετράγωνο + 3Χ + 9/4

Ας θυμηθούμε τώρα ένα πιο γενικό (x + a) 2 = x2 + 2ax + a2 και να το χρησιμοποιήσουμε στο τρέχον παράδειγμα. Αντικαθιστώντας τους αριθμούς μας, μας δίνει:   x2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2) 2 = (x + 3/2) 2 .

ΒΗΜΑ 5: Πάρτε την τετραγωνική ρίζα

Τέλος, η λήψη της τετραγωνικής ρίζας και από τις δύο πλευρές μας δίνει √ (x + 3/2) 2 = ± √2 . Ή απλάx + 3/2 = ± √2 . Το ολοκληρώνουμε αυτό λύνοντας το x : X 1 = √2 - 3/2και X 2 = - √2 - 3/2 .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: Ας λύσουμε ένα ακόμη

ΒΗΜΑ 1: Διαχωρίστε τους μεταβλητούς όρους από τον σταθερό όρο

Απλοποιήστε διαχωρίζοντας τους όρους με μεταβλητές από σταθερούς όρους. Στη συνέχεια, πραγματοποιήστε αφαίρεση και προσθήκη και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

ΒΗΜΑ 2: Βεβαιωθείτε ότι ο συντελεστής x τετραγώνου είναι ίσος με 1

Εδώ, ο συντελεστής του X2 ισούται ήδη με 1 , οπότε δεν απαιτείται περαιτέρω ενέργεια.

ΒΗΜΑ 3: Ολοκληρώστε την πλατεία

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε τον σταθερό όρο του πλήρους τετραγώνου μας. Ο συντελεστής x , που ισούται με-8 διαιρείται με 2 και τετράγωνο, δίνοντάς μας 16 .

Προσθέτουμε και αφαιρούμε το 16 και μπορούμε να δούμε ότι x2 - 8x + 16 μας δίνει ένα πλήρες τετράγωνο.

ΒΗΜΑ 4: Συντελεστής Η έκφραση X τετράγωνο - 8Χ + 16

Δεδομένου ότι ο σταθερός όρος -8 είναι με το σύμβολο πλην, χρησιμοποιούμε αυτή τη γενική μορφή: (x - α) 2 = x2 - 2ax + a2 . Η χρήση των αριθμών μας μας δίνει: x2 - 8x + 16 = x2 - 2 * (4) * x + (4) 2 = (x - 4) 2 .                              

ΒΗΜΑ 5: Πάρτε την τετραγωνική ρίζα

Τέλος, η λήψη της τετραγωνικής ρίζας και από τις δύο πλευρές μας δίνει √ (x - 4) 2 = ± √11 . Ή απλάx - 4 = ± √11 . Το ολοκληρώνουμε αυτό λύνοντας το x : X 1 = 4 + √11και X 2 = 4 - √11

Και εκεί το έχετε!