Boolean Algebra Truth Table Tutorial - XOR, NOR και λογικά σύμβολα που εξηγούνται

Όλοι αγαπάμε τους υπολογιστές. Μπορούν να κάνουν τόσα πολλά καταπληκτικά πράγματα. Μέσα σε μερικές δεκαετίες οι υπολογιστές έχουν φέρει επανάσταση σχεδόν σε όλες τις πτυχές της ανθρώπινης ζωής.

Μπορούν να κάνουν εργασίες διαφορετικών βαθμών πολυπλοκότητας, όλα απλώς με μηδενικά και άλλα. Είναι αξιοσημείωτο να δούμε πώς μια τόσο απλή δράση μπορεί να οδηγήσει σε τόσο πολύπλοκη.

Αλλά είμαι σίγουρος ότι όλοι γνωρίζετε ότι τέτοια πολυπλοκότητα δεν μπορεί να επιτευχθεί (πρακτικά) με τυχαία αναδίπλωση των αριθμών. Υπάρχει πράγματι κάποιος λόγος πίσω από αυτό. Υπάρχουν κανόνες που διέπουν τον τρόπο που πρέπει να γίνει αυτό. Σε αυτό το άρθρο θα συζητήσουμε αυτούς τους κανόνες και θα δούμε πώς διέπουν τον τρόπο «σκέψης» των υπολογιστών.

Τι είναι η άλγεβρα Boolean;

Οι κανόνες που ανέφερα παραπάνω περιγράφονται από ένα πεδίο των Μαθηματικών που ονομάζεται Boolean Algebra.

Στο βιβλίο του του 1854, ο Βρετανός Μαθηματικός George Boole πρότεινε ένα συστηματικό σύνολο κανόνων για τη χειραγώγηση των Αληθινών Αξιών. Αυτοί οι κανόνες έδωσαν μια μαθηματική βάση για την αντιμετώπιση λογικών προτάσεων. Αυτά τα σύνολα θεμελίων οδήγησαν στην ανάπτυξη της άλγεβρας Boolean.

Για την καλύτερη κατανόηση της Boolean Algebra, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ της Boolean Algebra και άλλων μορφών της άλγεβρας.

Η άλγεβρα, γενικά, ασχολείται με τη μελέτη των μαθηματικών συμβόλων και τις λειτουργίες που μπορούν να εκτελεστούν σε αυτά τα σύμβολα.

Αυτά τα σύμβολα δεν έχουν δική τους σημασία. Αντιπροσωπεύουν κάποια άλλη ποσότητα. Αυτή η ποσότητα δίνει κάποια αξία σε αυτά τα σύμβολα και αυτή είναι η ποσότητα στην οποία εκτελούνται οι εργασίες.

Η άλγεβρα Boolean ασχολείται επίσης με τα σύμβολα και τους κανόνες που διέπουν τη λειτουργία αυτών των συμβόλων, αλλά η διαφορά έγκειται στο τι αντιπροσωπεύουν αυτά τα σύμβολα .

Στην περίπτωση της συνηθισμένης άλγεβρας, τα σύμβολα αντιπροσωπεύουν τους πραγματικούς αριθμούς ενώ στη Boolean Άλγεβρα αντιπροσωπεύουν τις τιμές της Αλήθειας.

Η παρακάτω εικόνα δείχνει ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει Φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4 ....), Ολόκληροι αριθμοί (όλοι οι Φυσικοί αριθμοί και 0), Ακέραιοι (.....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 ...) και ούτω καθεξής. Η συνηθισμένη άλγεβρα ασχολείται με αυτό το σύνολο αριθμών.

Οι τιμές της Αλήθειας, σε σύγκριση, αποτελούνται από ένα σύνολο δύο μόνο τιμών: False και True. Εδώ, θα ήθελα να επισημάνω το γεγονός ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε άλλο σύμβολο για να αντιπροσωπεύσουμε αυτές τις τιμές.

Για παράδειγμα, στην Επιστήμη Υπολογιστών αντιπροσωπεύουμε ως επί το πλείστον αυτές τις τιμές χρησιμοποιώντας 0 και 1. 0 χρησιμοποιείται για False και 1 για True

Μπορείτε επίσης να το κάνετε με πιο φανταχτερό τρόπο, εκπροσωπώντας τιμές αλήθειας με κάποια άλλα σύμβολα, όπως γάτες και σκύλους ή μπανάνες και πορτοκάλια.

Το σημείο εδώ είναι ότι η εσωτερική έννοια αυτών των συμβόλων θα παραμείνει η ίδια ανεξάρτητα από το σύμβολο που χρησιμοποιείτε. Αλλά βεβαιωθείτε ότι δεν αλλάζετε τα σύμβολα κατά την εκτέλεση των λειτουργιών.

Τώρα το ερώτημα είναι ότι εάν (True και False), (0 και 1) είναι απλώς οι παραστάσεις, τότε τι προσπαθούν να εκπροσωπήσουν;

Το υποκείμενο νόημα πίσω από τις τιμές της αλήθειας προέρχεται από το πεδίο της Λογικής όπου οι τιμές της αλήθειας χρησιμοποιούνται για να πει εάν μια πρόταση είναι "True" ή "False". Εδώ οι τιμές αλήθειας αντιπροσωπεύουν τη σχέση μιας πρότασης με την αλήθεια, δηλαδή, αν η πρόταση είναι αληθής ή ψευδής.

Μια πρόταση είναι απλώς μια δήλωση όπως "Όλες οι γάτες είναι χαριτωμένες."

Εάν η παραπάνω πρόταση είναι αληθής τότε την αντιστοιχίζουμε με την τιμή αλήθειας του "True" ή "1" αλλιώς την αντιστοιχίζουμε "False" ή "0".

Στην Ψηφιακή Ηλεκτρονική, οι τιμές αλήθειας χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση των καταστάσεων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων "On" και "Off". Θα συζητήσουμε περισσότερα για αυτό αργότερα σε αυτό το άρθρο.

Πίνακες Boolean Operations και Truth

Όπως και η Συνηθισμένη Άλγεβρα, η Άλγεβρα Boolean έχει επίσης λειτουργίες που μπορούν να εφαρμοστούν στις τιμές για να λάβουν κάποια αποτελέσματα. Παρόλο που αυτές οι λειτουργίες δεν είναι παρόμοιες με αυτές της συνηθισμένης άλγεβρας επειδή, όπως συζητήσαμε νωρίτερα, η άλγεβρα Boolean λειτουργεί πάνω στις τιμές της Αλήθειας και όχι στους πραγματικούς αριθμούς.

Η Boolean Άλγεβρα έχει τρεις βασικές λειτουργίες.

Ή : Επίσης γνωστό ως Disjunction . Αυτή η λειτουργία εκτελείται σε δύο Boolean μεταβλητές. Η έξοδος της λειτουργίας OR θα είναι 0 όταν και οι δύο τελεστές είναι 0, διαφορετικά θα είναι 1.

Για να έχουμε μια πιο ξεκάθαρη εικόνα για το τι κάνει αυτή η λειτουργία μπορούμε να την απεικονίσουμε με τη βοήθεια ενός Πίνακα Αλήθειας παρακάτω.

Truth tables give us an insightful representation of what the Boolean operations do and they also act as a handy tool for performing Boolean operations. OR Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

ΚΑΙ : Επίσης γνωστό ως Conjunction . Αυτή η λειτουργία εκτελείται σε δύο Boolean μεταβλητές. Η έξοδος των λειτουργιών AND θα είναι 1 όταν και οι δύο τελεστές είναι 1, διαφορετικά θα είναι 0. Η αναπαράσταση του πίνακα αλήθειας έχει ως εξής.

 AND Operation Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

ΟΧΙ : Επίσης γνωστό ως Negation . Αυτή η λειτουργία εκτελείται μόνο σε μία μεταβλητή. Εάν η τιμή της μεταβλητής είναι 1, τότε αυτή η λειτουργία απλά τη μετατρέπει σε 0 και εάν η τιμή της μεταβλητής είναι 0, τότε τη μετατρέπει σε 1.

 Not Operation Variable-1 Output 0 1 1 0 

Boolean άλγεβρα και ψηφιακά κυκλώματα

Μετά την αρχική ανάπτυξή της, η Άλγεβρα Boolean, για πολύ καιρό, παρέμεινε μία από αυτές τις έννοιες στα Μαθηματικά που δεν είχαν σημαντικές πρακτικές εφαρμογές.

Στη δεκαετία του 1930, ο Claude Shannon, ένας Αμερικανός Μαθηματικός, συνειδητοποίησε ότι η Άλγεβρα Boolean θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σε κυκλώματα όπου οι δυαδικές μεταβλητές θα μπορούσαν να αντιπροσωπεύουν τα σήματα "χαμηλής" και "υψηλής" τάσης ή τις καταστάσεις "on" και "off".

Αυτή η απλή ιδέα της δημιουργίας κυκλωμάτων με τη βοήθεια της άλγεβρας Boolean οδήγησε στην ανάπτυξη της ψηφιακής ηλεκτρονικής που συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη κυκλωμάτων για υπολογιστές.

Τα ψηφιακά κυκλώματα εφαρμόζουν την άλγεβρα Boolean με τη βοήθεια των Logic Gates. Logic Gates είναι τα κυκλώματα που αντιπροσωπεύουν μια δυαδική λειτουργία. Για παράδειγμα, μια πύλη OR θα αντιπροσωπεύει μια λειτουργία OR. Το ίδιο ισχύει και για τις πύλες NOT και AND.

Παράλληλα με τις βασικές πύλες λογικής, έχουμε επίσης λογικές πύλες που μπορούν να δημιουργηθούν χρησιμοποιώντας τον συνδυασμό των βασικών πυλών λογικής.

NAND: NAND gate is formed by a combination of the NOT and AND gates. NAND gate gives an output of 0 if both inputs are 1, otherwise 1.

NAND gate holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NAND gates only.

 NAND Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

NOR: NOR gate is formed by a combination of NOT and OR gates. NOR gate gives an output of 1 if both inputs are 0, otherwise 0.

NOR gate, just like NAND gate, holds the property of Functional Completeness, which means that any boolean function can be implemented just by using a combination of NOR gates only.

 NOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Most digital circuits are built using NAND or NOR gates because of their functional completeness property and also because they are easy to fabricate.

Εκτός από τις προαναφερθείσες πύλες, έχουμε επίσης ένα ειδικό είδος πυλών που εξυπηρετούν κάποιο συγκεκριμένο σκοπό. Αυτά είναι τα εξής:

XOR : Η πύλη XOR ή η πύλη Exclusive-OR είναι ένας ειδικός τύπος πύλης λογικής που δίνει 0 ως έξοδο εάν και οι δύο είσοδοι είναι είτε 0 είτε 1, διαφορετικά δίνει 1.

 XOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR : Η πύλη XNOR ή η πύλη Exclusive-NOR είναι ένας ειδικός τύπος πύλης λογικής που δίνει 1 ως έξοδο όταν και οι δύο είσοδοι είναι είτε 0 είτε 1, διαφορετικά δίνει 0.

 XNOR Gate Variable-1 Variable-2 Output 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

συμπέρασμα

Έτσι, με όλα αυτά μπορούμε τώρα να ολοκληρώσουμε τη συζήτησή μας για την άλγεβρα Boolean εδώ. Ελπίζω μέχρι τώρα να έχετε μια αξιοπρεπή εικόνα για το τι είναι η Άλγεβρα Boolean.

Σίγουρα δεν είναι μόνο αυτό που πρέπει να γνωρίζετε για την άλγεβρα Boolean. Η Boolean Άλγεβρα έχει πολλές έννοιες και λεπτομέρειες που δεν μπορέσαμε να συζητήσουμε σε αυτό το άρθρο.