Η μέθοδος του Euler εξηγείται με παραδείγματα

Τι είναι η μέθοδος του Euler;

Η μέθοδος του Euler είναι μια αριθμητική διαδικασία πρώτης τάξεως για την επίλυση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων (ODE) με δεδομένη αρχική τιμή.

Το γενικό πρόβλημα αρχικής αξίας

Μεθοδολογία

Η μέθοδος του Euler χρησιμοποιεί τον απλό τύπο,

να κατασκευάσουμε την εφαπτομένη στο σημείο xκαι να λάβουμε την τιμή y(x+h), του οποίου η κλίση είναι,

Στη μέθοδο του Euler, μπορείτε να προσεγγίσετε την καμπύλη της λύσης με την εφαπτομένη σε κάθε διάστημα (δηλαδή, με μια ακολουθία τμημάτων μικρής γραμμής), σε βήματα του h.

Γενικά , εάν χρησιμοποιείτε μικρό μέγεθος βήματος, αυξάνεται η ακρίβεια της προσέγγισης.

Γενική φόρμουλα

Λειτουργική τιμή σε οποιοδήποτε σημείο b, που δίνεται απόy(b)

όπου,

  • n = αριθμός βημάτων
  • h = πλάτος διαστήματος (μέγεθος κάθε βήματος)

Ψευδοκώδικας

Παράδειγμα

Βρείτε y(1), δεδομένο

Επίλυση αναλυτικά, η λύση είναι y = ex και y(1)= 2.71828. (Σημείωση: Αυτή η αναλυτική λύση είναι μόνο για τη σύγκριση της ακρίβειας.)

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Euler, θεωρώντας h= 0.2, 0.1, 0.01, μπορείτε να δείτε τα αποτελέσματα στο παρακάτω διάγραμμα.

Πότε h= 0.2, y(1)= 2.48832(σφάλμα = 8,46%)

Πότε h= 0.1, y(1)= 2.59374(σφάλμα = 4,58%)

Πότε h= 0.01, y(1)= 2.70481(σφάλμα = 0,50%)

Μπορείτε να παρατηρήσετε, πώς βελτιώνεται η ακρίβεια όταν τα βήματα είναι μικρά.