Αρειανά Μαθηματικά

Αρειανά Μαθηματικά

Θα εξερευνήσουμε τα αριθμητικά συστήματα λύνοντας ένα από τα αγαπημένα μου αινίγματα.

Είστε ο πρώτος εξερευνητής στον Άρη και ανακαλύπτετε μια μαθηματική εξίσωση λαξευμένη σε βράχο: 12 + 24 = 40. Πόσα δάχτυλα είχαν οι Αρειανοί;

Λατρεύω αυτό το αίνιγμα γιατί σε κάνει να ξανασκεφτείς την κατανόηση των αριθμών. Δείχνει επίσης ένα πρόβλημα στον τρόπο που τα μαθηματικά διδάσκονται στο σχολείο - αντί να διδάσκουμε για θεμελιώδη κατανόηση, διδάσκουμε πώς να περάσουμε ένα τεστ. Έτσι έχουμε κολλήσει με μια ρηχή κατανόηση απλών εννοιών όπως οι αριθμοί! Αλλά αρκετό κήρυγμα, ας μάθουμε κάτι.

Εννοιολογικά, οι αριθμοί είναι μόνο ποσότητες, αλλά πώς αντιπροσωπεύουμε αυτές τις ποσότητες μπορεί να διαφέρουν. Συνήθως αντιπροσωπεύουμε αριθμούς σε ένα σύστημα αριθμών βάσης-10. Αυτό σημαίνει ότι η θέση κάθε ψηφίου σε έναν αριθμό αντιπροσωπεύει μια δύναμη 10. Δηλαδή, ο αριθμός 123 αντιπροσωπεύει 1 × 10³ + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰. Ωστόσο, είναι δυνατό να χρησιμοποιήσετε ένα σύστημα αριθμών που δεν βασίζεται σε δυνάμεις των 10. Είναι δύσκολο να φανταστείτε ότι ζείτε σε έναν κόσμο που χρησιμοποιεί ένα σύστημα αριθμών χωρίς βάση-10, αλλά στην πραγματικότητα, ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί αναπαράστασης είναι εντελώς αυθαίρετοι! Γιατί λοιπόν χρησιμοποιούμε ένα σύστημα αριθμών 10 βασισμένων; Το μαντέψατε - έχουμε 10 δάχτυλα!

Ακολουθεί μια μικρή απεικόνιση του τρόπου λειτουργίας ενός συστήματος αριθμών με βάση 10. Παρατηρήστε ότι κάθε φορά που γεμίζει μια στήλη προσθέτουμε μία ακόμη στην επόμενη στήλη.

Η ομορφιά αυτού του τρόπου εξέτασης αριθμών είναι ότι η έννοια της ποσότητας αισθάνεται φυσική για όλα τα συστήματα αριθμών, όχι μόνο για τη βάση-10. Ας εξερευνήσουμε λοιπόν άλλα συστήματα αριθμών.

Ο υπολογιστής αντιπροσωπεύει αριθμούς χρησιμοποιώντας δυαδικό που είναι ένα σύστημα αριθμών βάσης-2. Είναι η ίδια ιδέα εκτός από το να μετακινηθείτε στην επόμενη στήλη αφού γεμίσετε 9 κουκκίδες, αλλάζετε μετά από μόνο 1

Οι προγραμματιστές συχνά αντιπροσωπεύουν αριθμούς χρησιμοποιώντας δεκαεξαδικό που είναι ένα σύστημα αριθμών βάσης-16. Το κάνουν αυτό επειδή το δυαδικό δεν είναι πολύ συμπαγές - χρειάζονται 4 δυαδικά ψηφία μόνο για να αντιπροσωπεύσουν τον αριθμό 16 - και επειδή το 16 είναι δύναμη 2 που καθιστά εύκολη τη μετατροπή μεταξύ των δύο συστημάτων αριθμών.

Δεδομένου ότι θα ήταν περίεργο για έναν αριθμό όπως το 12 να αντιπροσωπεύει μόνο ένα ψηφίο μέρος όταν το γράφουμε, συνήθως αρχίζουμε να μετράμε το αλφάβητο μετά το 9. Δηλαδή, το Α αντιπροσωπεύει το 10, το Β αντιπροσωπεύει το 11, το C αντιπροσωπεύει 12 και ούτω καθεξής .

Και τώρα για το αίνιγμα μας! Πρώτα, δείτε αν δεν μπορείτε να το καταλάβετε μόνοι σας. Αν θέλετε, μπορείτε να παίξετε μόνοι σας με το εργαλείο οπτικοποίησης.

Σας έχω ήδη δώσει μια μεγάλη υπόδειξη - έχουμε ένα σύστημα αριθμών με βάση 10, επειδή έχουμε 10 δάχτυλα! Αν λοιπόν μπορούμε να βρούμε ένα σύστημα αριθμών όπου αυτά τα σύμβολα αντιπροσωπεύουν αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση, τότε έχουμε λύσει το αίνιγμα.

Υπάρχει ένας πιο άμεσος τρόπος για να βρείτε την απάντηση, αλλά ας χρησιμοποιήσουμε τον καλό μας φίλο «μαντέψτε και ελέγξτε». Δεδομένου ότι κάθε Αρειανός σε κάθε αναφορά ποπ κουλτούρας έχει 6 δάχτυλα, ας το κάνουμε αυτό.

Ας θυμηθούμε την εξίσωση για αναφορά: 12 + 24 = 40.

Όπως μπορείτε να δείτε, το 8 αντιπροσωπεύεται ως 12 σε ένα σύστημα αριθμών βάσης-6. Αυτό συμβαίνει επειδή 8 = 1 × ⁶¹ + 2 × ⁶⁰.

Εδώ, μπορείτε να δείτε ότι το 16 αντιπροσωπεύεται ως 23 σε ένα σύστημα αριθμών βάσης-6.

Και τέλος, το 24 αντιπροσωπεύεται ως 40 σε ένα σύστημα αριθμών βάσης-6. Έτσι, εάν επρόκειτο να μετατρέψουμε αυτήν την εξίσωση σε ένα σύστημα αριθμών βάσης-10, θα είχαμε 8 + 16 = 24. Άρα υπάρχει η απάντηση στο αίνιγμα - οι Αρειανοί έχουν 6 δάχτυλα!

Είναι δύσκολο να κατανοήσουμε αυτήν την εξίσωση γιατί έτσι μάθαμε να επιλύουμε μηχανικά τα μαθηματικά προβλήματα. Αλλά χρησιμοποιούμε καθημερινά συστήματα αριθμών χωρίς βάση-10 κάθε μέρα. Σίγουρα αυτή η εξίσωση έχει νόημα για εσάς: 0:30 + 1:45 = 2:15. Ο χρόνος είναι ένα τέλειο παράδειγμα ενός αριθμητικού συστήματος που δεν είναι βάση-10. Και εάν ζείτε στις ΗΠΑ και πρέπει να χρησιμοποιήσετε το φοβερό σύστημα μέτρησης, θα βρείτε περίεργα συστήματα αριθμών παντού.

Στο τέλος της ημέρας, αυτό που ελπίζω να έχετε κερδίσει από αυτό το άρθρο είναι μια εκτίμηση για τη διαφορά μεταξύ εννοιών όπως οι ποσότητες και των συμβολικών παραστάσεων που χρησιμοποιούμε για την κωδικοποίηση αυτών των εννοιών. Είναι λεπτές έννοιες όπως αυτή που είναι πολύ πιο σημαντικές από την πρακτική άσκηση της προσθήκης δύο αριθμών σε χαρτί.

PS Αναχώρηση συσκευής! Είναι ένα καταπληκτικό λογισμικό για τη δημιουργία διαδραστικών διαγραμμάτων.

Αν ενδιαφέρεστε για τέτοια πράγματα, ίσως σας αρέσει να διαβάζετε το εβδομαδιαίο ενημερωτικό δελτίο όλων όσων θεωρώ ενδιαφέρον. Μπορείτε να εγγραφείτε εδώ.