Κανόνας 68-95-99 - Η κανονική κατανομή εξηγείται στα Απλά Αγγλικά

Γνωρίστε τον Mason. Είναι ένας μέσος Αμερικανός 40 ετών: ύψος 5 πόδια 10 ίντσες και κερδίζει 47.000 $ ετησίως πριν από το φόρο.

Πόσο συχνά θα περιμένατε να συναντήσετε κάποιον που κερδίζει 10 φορές περισσότερο από τον Mason;

Και τώρα, πόσο συχνά θα περιμένατε να συναντήσετε κάποιον που έχει ύψος 10 φορές περισσότερο από τον Mason;

Οι απαντήσεις σας στις δύο παραπάνω ερωτήσεις είναι διαφορετικές, επειδή η κατανομή των δεδομένων είναι διαφορετική. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι συχνό 10x άνω του μέσου όρου. Ενώ σε άλλους, δεν είναι καθόλου κοινό.

Λοιπόν, ποιες είναι οι κανονικές διανομές;

Σήμερα, ενδιαφερόμαστε για κανονικές διανομές. Αντιπροσωπεύονται από καμπύλη καμπάνας: έχουν μια κορυφή στη μέση που τρυπά προς κάθε άκρη. Πολλά πράγματα ακολουθούν αυτήν τη διανομή, όπως το ύψος, το βάρος και το IQ.

Αυτή η διανομή είναι συναρπαστική επειδή είναι συμμετρική - γεγονός που το καθιστά εύκολο να δουλέψετε. Μπορείτε να μειώσετε πολλά περίπλοκα μαθηματικά σε μερικούς κανόνες, επειδή δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για περίεργες περιπτώσεις.

Για παράδειγμα, η κορυφή χωρίζει πάντα τη διανομή στο μισό. Υπάρχει ίση μάζα πριν και μετά την κορυφή.

Μια άλλη σημαντική ιδιότητα είναι ότι δεν χρειαζόμαστε πολλές πληροφορίες για να περιγράψουμε μια κανονική διανομή.

Πράγματι, χρειαζόμαστε μόνο δύο πράγματα:

  1. Το νόημα. Οι περισσότεροι άνθρωποι το αποκαλούν "το μέσο όρο". Είναι αυτό που παίρνετε εάν προσθέσετε την αξία όλων των παρατηρήσεών σας και, στη συνέχεια, διαιρέστε τον αριθμό με τον αριθμό των παρατηρήσεων. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος αυτών των τριών αριθμών:1, 2, 3 = (1 + 2 + 3) / 3 = 2
  2. Και η τυπική απόκλιση. Αυτό σας λέει πόσο σπάνια θα ήταν μια παρατήρηση. Οι περισσότερες παρατηρήσεις εμπίπτουν σε μια τυπική απόκλιση του μέσου όρου. Λιγότερες παρατηρήσεις είναι δύο τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο όρο. Και ακόμη λιγότερες απέχουν τρεις τυπικές αποκλίσεις (ή περισσότερο).

Μαζί, ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση αποτελούν όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε για μια διανομή.

Ο κανόνας 68-95-99

Ο κανόνας 68-95-99 βασίζεται στη μέση και τυπική απόκλιση. Λέει:

Το 68% του πληθυσμού βρίσκεται σε 1 τυπική απόκλιση του μέσου όρου.

Το 95% του πληθυσμού βρίσκεται μέσα σε 2 τυπική απόκλιση του μέσου όρου.

Το 99,7% του πληθυσμού βρίσκεται μέσα σε 3 τυπική απόκλιση του μέσου όρου.

Πώς να υπολογίσετε τις κανονικές κατανομές

Για να συνεχίσουμε το παράδειγμά μας, το μέσο αμερικανικό ύψος ανδρών είναι 5 πόδια 10 ίντσες, με τυπική απόκλιση 4 ίντσες. Αυτό σημαίνει:

Τώρα για το διασκεδαστικό μέρος: Ας εφαρμόσουμε ό, τι μόλις μάθαμε.

Ποια είναι η πιθανότητα να δεις κάποιον με ύψος μεταξύ 5 πόδια 10 ίντσες και 6 πόδια 2 ίντσες; (Δηλαδή, μεταξύ 70 και 74 ίντσες.)

Είναι 34%! Αξιοποιούμε και τις δύο ιδιότητες: η κατανομή είναι συμμετρική, πράγμα που σημαίνει ότι οι πιθανότητες για (66-70) ίντσες και (70-74) ίντσες είναι και οι δύο 68/2 = 34%.

Ας δοκιμάσουμε ένα πιο δύσκολο. Ποια είναι η πιθανότητα να δεις κάποιον με ύψος μεταξύ 62 και 66 ίντσες;

Είναι (95-68) / 2 = 13,5%. Και τα δύο εξωτερικά άκρα έχουν το ίδιο%.

Και τώρα το τελικό σας (και το πιο δύσκολο τεστ): Ποια είναι η πιθανότητα να δείτε κάποιον με ύψος μεγαλύτερο από 82 ίντσες;

Εδώ, χρησιμοποιούμε επίσης την τελική ιδιότητα: όλα πρέπει να ανέρχονται στο 100%. Έτσι, οι εξωτερικές άκρες (δηλαδή, ύψη κάτω από 58 και ύψη πάνω από 82) μαζί κάνουν (100% - 99,7%) = 0,3%.

Θυμηθείτε, μπορείτε να το εφαρμόσετε σε οποιαδήποτε κανονική διανομή. Δοκιμάστε να κάνετε το ίδιο για γυναικεία ύψη: ο μέσος όρος είναι 65 ίντσες και η τυπική απόκλιση είναι 3,5 ίντσες.

Έτσι, η πιθανότητα να δεις κάποιον με ύψος μεταξύ 65 και 68,5 ίντσες θα ήταν: ___.

...

...

34%! Είναι ακριβώς το ίδιο με το πρώτο μας παράδειγμα. Είναι τυπική απόκλιση +1.

συμπέρασμα

Η γνώση αυτού του κανόνα καθιστά πολύ εύκολο να βαθμονομήσετε τις αισθήσεις σας. Δεδομένου ότι το μόνο που χρειάζεται να περιγράψουμε οποιαδήποτε κανονική κατανομή είναι η μέση και η τυπική απόκλιση, αυτός ο κανόνας ισχύει για κάθε κανονική κατανομή στον κόσμο!

Το προκλητικό μέρος, πράγματι, είναι να καταλάβουμε εάν η διανομή είναι φυσιολογική ή όχι.

Θέλετε να μάθετε περισσότερα σχετικά με τη βαθμονόμηση των αισθήσεών σας και την κριτική σκέψη; Δείτε το Θεώρημα του Bayes: Ένα πλαίσιο για την κριτική σκέψη.